Niet-lineaire dynamica issues
Chaos of orde? - Koch's CurveNiet-lineaire dynamica
Koch’s Curve is een eenvoudige fractal. ‘Fractals’ werden voor het eerst beschreven in 1975 door Benoït Mandelbrot, maar deze fascinerende figuren werden al 100 jaar eerder ontdekt door wiskundigen die bizar wiskundig gedrag onderzochten en ‘monsterkrommen’ werden genoemd.
Een fractal is een geometrisch object dat op elke schaal zeer onregelmatig is. Sommige van de beroemdste fractals hebben een gelijkende structuur: ze hebben een zich herhalende structuur op elk niveau van grootte. Een van de bekendste voorbeelden is de Driehoek van Sierpinski. Veel van deze fractals kunnen worden gegenereerd door een patroon te herhalen in een recursief proces.
Laten we beginnen met een heel vroeg fractal-achtig fenomeen
In 1904 introduceerde Helge von Koch de Koch-curve. Hier zie je hoe de curve recursief wordt opgebouwd:
![]() |
|
![]() |
Stel dat in de bovenstaande afbeelding het lijnstuk in fase 0 van de figuur 1 meter lang is.
Het volgende stadium, stadium 1, wordt geproduceerd uit het vorige stadium door eerst de lijn in stadium 0 te verdelen in drie gelijke stukken met een lengte van 1/3 van de oorspronkelijke grootte, vervolgens het middelste derde deel te verwijderen en de tent van een gelijkzijdige driehoek in te voegen. Stap 2 wordt verkregen uit Stap 1 door het bovenstaande proces toe te passen op elk van de vier rechte lijnsegmenten in Stap 1. En we gaan verder… Als je stap n wilt tekenen, pas je gewoon het proces toe op de vorige stap, stap n-1 . Maar om dit te kunnen doen, moet je natuurlijk eerst alle stappen kennen. Het resultaat is een opeenvolging van tekeningen die complexer worden naarmate het volgnummer hoger wordt, maar nog steeds enigszins lijken op de vorige leden van de opeenvolging. Je kunt in de figuur zien dat de tekening al in fase 4 behoorlijk complex is met veel details. In feite zou je, als je de constructie verder doortrekt, kunnen zeggen dat fases 4,5,6,7,… niet zoveel van elkaar verschillen, en daar zou je gelijk in hebben. Natuurlijk zijn ze fundamenteel verschillend, maar op de schaal waarop we ze hebben getekend, zien we niet veel verschil.
|
0 1 2 3 4 |
![]() |
![]() |
In feite heeft deze reeks tekeningen een limiet, in technische zin, en die limiet wordt “von Koch’s Curve” genoemd. Wat interessant is, is dat als je 3 kopieën van de kromme langs de randen van een gelijkzijdige driehoek legt, je de figuur links krijgt. Nu is duidelijk waarom het ook wel de ‘sneeuwvlokfractal’ wordt genoemd. Wat is de lengte van de kromme van von Koch? De enige manier om zo’n vraag te beantwoorden is door grenzen te stellen. Hier is een richtlijn:
Merk op dat het ‘bestaan’ een belangrijk deel van het antwoord is… |
Chaos of orde?
In bovenstaand artikel over de kromme van Koch worden “fractal’s” genoemd.
Op het eerste gezicht lijkt een fractal een nogal ‘willekeurig’ gecreëerd patroon. Voor wie niet beter weet, kan het zelfs een beetje chaotisch genoemd worden.
Wat mij fascineert is deze vraag:
- Is chaos echt altijd chaos?
- Is ‘onvoorspelbaar’ echt altijd onvoorspelbaar?
- Is onoplosbare complexiteit echt zo complex?
Of is het gewoon een kwestie van niet weten en dus de structuur niet zien? Zou het kunnen dat er in veel van die ‘onvoorspelbare, oncontroleerbare en chaotische’ situaties ergens een set regels is, een algoritme, dat ‘chaotische’ situaties transparant maakt (omdat we in één keer de structuur kunnen zien) en redelijk voorspelbaar en dus controleerbaar?
Mijn echte zoektocht is het antwoord op deze vraag: Hoe verhouden theorieën en inzichten uit de niet-lineaire dynamica zich tot de incidentpiramide van Birds- en Heinrichs?
Sinds de studies van Tripod en Grothus weten we dat er zoiets bestaat als ‘basisrisicofactoren’ en zelfs een soort schatting van het gedrag dat leidt tot allerlei incidenten en rampen.
Basisconcepten bij niet-lineaire dynamica en chaos:
http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html
Andere bronnen:
http://fractalfoundation.org/resources/fractivities/koch-curve/