Niet-lineaire dynamica issues

Chaos of orde? - Koch's Curve

Niet-lineaire dynamica

Koch’s Curve is een eenvoudige fractal. ‘Fractals’ werden voor het eerst beschreven in 1975 door Benoït Mandelbrot, maar deze fascinerende figuren werden al 100 jaar eerder ontdekt door wiskundigen die bizar wiskundig gedrag onderzochten en ‘monsterkrommen’ werden genoemd.

Een fractal is een geometrisch object dat op elke schaal zeer onregelmatig is. Sommige van de beroemdste fractals hebben een gelijkende structuur: ze hebben een zich herhalende structuur op elk niveau van grootte. Een van de bekendste voorbeelden is de Driehoek van Sierpinski. Veel van deze fractals kunnen worden gegenereerd door een patroon te herhalen in een recursief proces.
Laten we beginnen met een heel vroeg fractal-achtig fenomeen

In 1904 introduceerde Helge von Koch de Koch-curve. Hier zie je hoe de curve recursief wordt opgebouwd:

 

 

  1. Begin met een rechte lijn (het blauwe segment in de bovenste figuur).
  2. Teken een gelijkzijdige driehoek met het middelste lijnstuk als basis.
    Verwijder het middelste segment
  3. Herhaal dit nu, neem elk van de vier resulterende segmenten, verdeel ze in drie gelijke delen en vervang elk van de middelste segmenten door twee zijden van een gelijkzijdige driehoek (de rode segmenten in de onderste figuur).
  4. Ga door met deze constructie.

 

 

Stel dat in de bovenstaande afbeelding het lijnstuk in fase 0 van de figuur 1 meter lang is.

 

Het volgende stadium, stadium 1, wordt geproduceerd uit het vorige stadium door eerst de lijn in stadium 0 te verdelen in drie gelijke stukken met een lengte van 1/3 van de oorspronkelijke grootte, vervolgens het middelste derde deel te verwijderen en de tent van een gelijkzijdige driehoek in te voegen.

Stap 2 wordt verkregen uit Stap 1 door het bovenstaande proces toe te passen op elk van de vier rechte lijnsegmenten in Stap 1. En we gaan verder… Als je stap n wilt tekenen, pas je gewoon het proces toe op de vorige stap, stap n-1 . Maar om dit te kunnen doen, moet je natuurlijk eerst alle stappen kennen. Het resultaat is een opeenvolging van tekeningen die complexer worden naarmate het volgnummer hoger wordt, maar nog steeds enigszins lijken op de vorige leden van de opeenvolging.

Je kunt in de figuur zien dat de tekening al in fase 4 behoorlijk complex is met veel details. In feite zou je, als je de constructie verder doortrekt, kunnen zeggen dat fases 4,5,6,7,… niet zoveel van elkaar verschillen, en daar zou je gelijk in hebben. Natuurlijk zijn ze fundamenteel verschillend, maar op de schaal waarop we ze hebben getekend, zien we niet veel verschil.

 

0

1

2

3

4

 

Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924) was een Zweedse wiskundige die voor het eerst speelde met de figuren die we nu bespreken. Het viel hem op dat naarmate de fasen vorderden, de figuren zich leken te “stabiliseren” tot een figuur die niet veel verschilde van die in Fase 4, zoals we hebben waargenomen. Hij stelde de vraag: “Wat gebeurt er met de cijfers als we het proces voor onbepaalde tijd voortzetten?” Met andere woorden, stel dat je je computer dit algoritme op hoge snelheid zou laten doorrekenen, zou je dan het verschil kunnen zien tussen Fase 1.000.000 en Fase 5.555.679, of verder? Heeft deze reeks een limiet? Als je inzoomt op deze curve zou het er ongeveer zo uitzien:

 

 

In feite heeft deze reeks tekeningen een limiet, in technische zin, en die limiet wordt “von Koch’s Curve” genoemd. Wat interessant is, is dat als je 3 kopieën van de kromme langs de randen van een gelijkzijdige driehoek legt, je de figuur links krijgt. Nu is duidelijk waarom het ook wel de ‘sneeuwvlokfractal’ wordt genoemd.

Wat is de lengte van de kromme van von Koch? De enige manier om zo’n vraag te beantwoorden is door grenzen te stellen. Hier is een richtlijn:
1. Onthoud dat het lijnstuk in stap 0 1 meter lang was. Volg het proces en bereken de lengte van stap 1, denk eraan dat elk recht stuk even lang is.
2. Bereken de lengtes van de volgende stappen (hiervoor heb je een rekenmachine nodig). Zie je een patroon? Vind een formule voor de lengte van stap n. Vergelijk uw formule met de formules die u eerder hebt berekend.
3. Wat gebeurt er met de lengtes als n heel groot wordt? Vallen de lengtes samen tot een bepaald getal? Hoe gedragen ze zich? Je antwoord zou je een beetje ongemakkelijk moeten doen voelen als je dit nog nooit eerder hebt gedaan.
Geen paniek. Er zijn drie mogelijke antwoorden op de opdracht “Vind de limiet van deze reeks (van getallen)”.

  1. De limiet bestaat en is eindig.
  2. De limiet bestaat en is oneindig.
  3. De limiet bestaat niet.

Merk op dat het ‘bestaan’ een belangrijk deel van het antwoord is…

Chaos of orde?

In bovenstaand artikel over de kromme van Koch worden “fractal’s” genoemd.
Op het eerste gezicht lijkt een fractal een nogal ‘willekeurig’ gecreëerd patroon. Voor wie niet beter weet, kan het zelfs een beetje chaotisch genoemd worden.
Wat mij fascineert is deze vraag:

  • Is chaos echt altijd chaos?
  • Is ‘onvoorspelbaar’ echt altijd onvoorspelbaar?
  • Is onoplosbare complexiteit echt zo complex?

Of is het gewoon een kwestie van niet weten en dus de structuur niet zien? Zou het kunnen dat er in veel van die ‘onvoorspelbare, oncontroleerbare en chaotische’ situaties ergens een set regels is, een algoritme, dat ‘chaotische’ situaties transparant maakt (omdat we in één keer de structuur kunnen zien) en redelijk voorspelbaar en dus controleerbaar?

Mijn echte zoektocht is het antwoord op deze vraag: Hoe verhouden theorieën en inzichten uit de niet-lineaire dynamica zich tot de incidentpiramide van Birds- en Heinrichs?

Sinds de studies van Tripod en Grothus weten we dat er zoiets bestaat als ‘basisrisicofactoren’ en zelfs een soort schatting van het gedrag dat leidt tot allerlei incidenten en rampen.

© 1996-2021 Arno Koch. Please contact Arno Koch if you want to use content of this site!